Relación C/A de una Celdilla Hexagonal

Para empezar esta demostración tenemos que definir la altura del H.C.P. siendo igual a “c”. Cada uno de los lados del hexágono que se encuentran en los planos superior e inferior será igual a “a”. Analizando la estructura se puede observar que se puede dividir en tres sub estructuras iguales, con lo que se procede a realizar el análisis de los triángulos internos.

    Teniendo en consideración que al dividir la estructura los triángulos obtenidos son equiláteros (lo que nos dice que sus lados son todos iguales) y tendrán un valor de “a” sus lados. Sumado a esto, se asume el principio de “esfera rígida” donde el punto “e” se encuentra equidistante de los planos superior e inferior y también se encuentra a C/2 de dichos planos y la distancia de ef=eh=fh=fg=gh=eg=a=2r .

   Si analizamos el tetraedro formado por los puntos “e”, “f”, “h” y “g” se tiene la proyección de “e” la cual se llamará “i” y lo consideraremos como el baricentro del triángulo “fhg”.

    Como “i” es el baricentro, el segmento fi es la bisectriz del ángulo “fhg” que tiene un valor de 60° por ser un triángulo equilátero, entonces decimos que:

⇾   hfi = ifm

⇾   fhg= fhi + ifm

⇾   fhg = 2 ifm

⇾  60º/2  = ifm

⇾   Ifm = 30°

    Como “i” es el baricentro “im” es la mediana del segundo segmento fg y “m” el punto medio entonces nos queda que fm=mg=a/2 y el ángulo imf = 90°

    Aplicamos entonces:

Familias de plano, Indices de Dirección de Miller para celdillas hexagonales.

Índices para direcciones cristalinas

Para las direcciones cristalinas se emplea una notación de índices que en lo fundamental es simplemente vectorial. Se usan paréntesis cuadrados: [hkl].

En un cristal, una familia de direcciones equivalentes se denomina <hkl>. Así, en un cristal del sistema cúbico, la familia de direcciones {100}, incluye las tres aristas no paralelas del cubo: direcciones (100), (010) y (001).

Propiedades de índices de Miller en cristales del sistema cúbico.

1. Dado un plano (hkl), los índices de su normal son [hkl]. Esta propiedad no siempre se cumple para cristales cúbico.

2. Para un plano cristalográfico (hkl) de un cristal de parámetro de celda a[nm], la respectiva distancia interplanar dhkl vale:

dhkl[nm]= a[nm] / √(h2 + k2 + l2 )

IMPORTANTE PARA LAS CELDILLAS HC.

La Propiedad 1 no siempre se cumple en cristales no cúbicos. Ejemplo, para un cristal HC, ver Fig. 1, determine los índices de Miller: a) de un plano basal y de su normal (se cumple) y b) de un plano de prisma y de su normal (no se cumple).

Para que la Propiedad 1 se cumpla siempre en cristales HC, existe un sistema de índices de Miller-Bravais, con 4 índices {h k l m}. Al utilizarse un sistema de referencia de 4 ejes en un espacio 3D, los tres primeros ejes, contenidos en el plano basal, no son linealmente independientes, h+k+l =0. El cuarto eje c es perpendicular al plano basal. En el texto de Smith aparece esta materia, la cual no es parte de este curso.

Según la Propiedad 2, si el trío de la familia {h k l} es grande, entonces dhkl [nm] es pequeño. Que {h k l} sea grande implica que (h2 + k2 + l2) es grande. La ecuación antes indicada para la Propiedad 2 no se cumple en cristales no cúbicos; sin embargo, en cristales no cúbicos siempre existe una ecuación, aunque más compleja que la de los cúbicos, cuyo análisis también lleva a concluir que los planos de índices menores son los con las mayores distancias interplanares.

Nótese que si en la ecuación de la Propiedad 2 no se ingresan los valores de {h k l} correctamente calculados, entonces el resultado de la distancia interplanar será erróneo. Por ejemplo, para un cristal CCC no es raro que en vez de los índices correctos {200} se asignen los índices incorrectos, para el propósito de calcular la distancia interplanar, {100}. Sin embargo, en ambos casos se obtiene la correcta dirección de la normal. En efecto, las direcciones [200] y [100] son paralelas.

Cálculo de la densidad Volumetrica, Planar y Lineal de las Celdillas Unitarias

CALCULO DE LA DENSIDAD VOLUMÉTRICA, PLANAR Y LINEAL DE LAS CELDAS UNITARIAS 

DENSIDAD VOLUMÉTRICA

Aplicando el modelo de esferas rígidas para la estructura cristalina de la celda unitaria de un metal y el valor del radio atómico, se obtiene el valor de la densidad volumétrica, con la ecuación:

DENSIDAD ATÓMICA PLANAR

La densidad planar es simplemente la relación del área del plano cristalográfico ocupada por átomos (representados como círculos); el plano debe pasar a través del centro del átomo para que éste se pueda incluir. Se calcula con la relación:

DENSIDAD ATÓMICA LINEAL

La densidad lineal corresponde a la relación de longitud de línea, de una dirección cristalográfica particular, que pasa a través de los centros de los átomos. Se Calcula con:

Posiciones y Direcciones del Atomo en Celdillas Unitarias Cúbicas

POSICIONES DEL ÁTOMO EN CELDAS UNITARIAS CUBICAS

Para situar las posiciones atómicas en las celdas unitarias cúbicas se utilizan los ejes cartesianos x, y, z. La zona positiva del eje x es la situada hacia afuera del papel, la zona positiva del eje y es la situada hacia la derecha del papel, y la zona positiva del eje z es la situada hacia arriba del papel (ver.fig.). Las zonas negativas son las opuestas a las que se han descrito.

Las posiciones de los átomos en la celda unitaria se localizan mediante distancias unitarias a lo largo de los eje x, y, z. Por ejemplo, las coordenadas de posición para los átomos en la celda unitaria BCC. Las posiciones atómicas para los átomos situados en los vértices de la celda unitaria BCC, son:

(0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)

(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)

El átomo central de la celda unitaria BCC tiene las coordenadas en posición (1/2, 1/2,1/2). Por sencillez, suelen especificarse sólo dos posiciones atómicas en la celda unitaria BCC, que son (0, 0, 0) y (1/2, 1/2, 1/2). Las posiciones atómicas restantes de la celda unitaria BCC se consideran sobreentendidas. De forma análoga se pueden localizar las posiciones atómicas en la celda unitaria FCC.

DIRECCIONES EN LAS CELDAS UNITARIAS CUBICAS

Para los cristales cúbicos, los índices de las direcciones cristalográficas son los componentes del vector de dirección descompuesto sobre cada eje de coordenada y reducidos a mínimos enteros. Para indicar una dirección en una celda unitaria cúbica, se dibuja un vector de dirección desde un origen, que generalmente es un vértice de la celda cúbica, hasta que emerge a la superficie del cubo. Las coordenadas de posición de la celda unitaria donde el vector de dirección emerge de la superficie del cubo después de convertirlas en enteros, son los índices de dirección. Estos índices se colocan entre corchetes sin separación por comas.

Las coordenadas de posición del vector de dirección OR, son (1, 0, 0), y los índices de dirección para el vector de dirección OR son (1 0 0).

Las coordenadas de posición del vector de dirección OS son (1, 1, 0), los índices de dirección para OS son (1, 1, 0).

Las coordenadas de posición del vector de dirección OT, son (1, 1, 1), y los índices de dirección para OT son (1, 1, 1).

Las coordenadas de posición del vector de dirección OM, son (1, 1/2, 0), y los índices de dirección deben ser números enteros, estas coordenadas de posición deben multiplicarse por 2 para obtener los enteros. Así, los índices de dirección de OM pasan a ser 2(1, 1/2, 0) = (2 1 0).