Para
empezar esta demostración tenemos que definir la altura del H.C.P. siendo igual
a “c”. Cada uno de los lados del hexágono que se encuentran en los planos
superior e inferior será igual a “a”. Analizando la estructura se puede
observar que se puede dividir en tres sub estructuras iguales, con lo que se
procede a realizar el análisis de los triángulos internos.
Teniendo en consideración que al dividir la
estructura los triángulos obtenidos son equiláteros (lo que nos dice que sus
lados son todos iguales) y tendrán un valor de “a” sus lados. Sumado a esto, se
asume el principio de “esfera rígida” donde el punto “e” se encuentra
equidistante de los planos superior e inferior y también se encuentra a C/2 de dichos planos y la distancia de ef=eh=fh=fg=gh=eg=a=2r .
Si analizamos el tetraedro formado por los
puntos “e”, “f”, “h” y “g” se tiene la proyección de “e” la cual se llamará “i”
y lo consideraremos como el baricentro del triángulo “fhg”.
Como “i” es el baricentro, el segmento fi
es la bisectriz del ángulo “fhg” que tiene un valor de 60° por ser un triángulo
equilátero, entonces decimos que:
⇾
hfi = ifm
⇾
fhg= fhi + ifm
⇾
fhg = 2 ifm
⇾ 60º/2 
= ifm
= ifm
⇾ Ifm
= 30°
Como “i” es el baricentro “im” es la
mediana del segundo segmento fg y “m” el punto medio entonces nos queda que fm=mg=a/2 y el ángulo imf = 90°
Aplicamos entonces:
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