Familias de plano, Indices de Dirección de Miller para celdillas hexagonales.

Índices para direcciones cristalinas

Para las direcciones cristalinas se emplea una notación de índices que en lo fundamental es simplemente vectorial. Se usan paréntesis cuadrados: [hkl].

En un cristal, una familia de direcciones equivalentes se denomina <hkl>. Así, en un cristal del sistema cúbico, la familia de direcciones {100}, incluye las tres aristas no paralelas del cubo: direcciones (100), (010) y (001).

Propiedades de índices de Miller en cristales del sistema cúbico.

1. Dado un plano (hkl), los índices de su normal son [hkl]. Esta propiedad no siempre se cumple para cristales cúbico.

2. Para un plano cristalográfico (hkl) de un cristal de parámetro de celda a[nm], la respectiva distancia interplanar dhkl vale:

dhkl[nm]= a[nm] / √(h2 + k2 + l2 )

IMPORTANTE PARA LAS CELDILLAS HC.

La Propiedad 1 no siempre se cumple en cristales no cúbicos. Ejemplo, para un cristal HC, ver Fig. 1, determine los índices de Miller: a) de un plano basal y de su normal (se cumple) y b) de un plano de prisma y de su normal (no se cumple).

Para que la Propiedad 1 se cumpla siempre en cristales HC, existe un sistema de índices de Miller-Bravais, con 4 índices {h k l m}. Al utilizarse un sistema de referencia de 4 ejes en un espacio 3D, los tres primeros ejes, contenidos en el plano basal, no son linealmente independientes, h+k+l =0. El cuarto eje c es perpendicular al plano basal. En el texto de Smith aparece esta materia, la cual no es parte de este curso.

Según la Propiedad 2, si el trío de la familia {h k l} es grande, entonces dhkl [nm] es pequeño. Que {h k l} sea grande implica que (h2 + k2 + l2) es grande. La ecuación antes indicada para la Propiedad 2 no se cumple en cristales no cúbicos; sin embargo, en cristales no cúbicos siempre existe una ecuación, aunque más compleja que la de los cúbicos, cuyo análisis también lleva a concluir que los planos de índices menores son los con las mayores distancias interplanares.

Nótese que si en la ecuación de la Propiedad 2 no se ingresan los valores de {h k l} correctamente calculados, entonces el resultado de la distancia interplanar será erróneo. Por ejemplo, para un cristal CCC no es raro que en vez de los índices correctos {200} se asignen los índices incorrectos, para el propósito de calcular la distancia interplanar, {100}. Sin embargo, en ambos casos se obtiene la correcta dirección de la normal. En efecto, las direcciones [200] y [100] son paralelas.